מחקר חלוצי של מתמטיקאים פולנים על הסימטריה של כל הסימטריות

מתמטיקאים פולנים הצליחו לפתור בעיה חשובה בנושא סימטריה של כל הסימטריות לפתור. זו הייתה בעיה לא פתורה במשך כמה עשורים - אחד האתגרים הגדולים ביותר של התיאוריה הגיאומטרית של קבוצות.

תוצאותיו של דר. מארק קלובה (אוניברסיטת אדם מיצקביץ 'ומכון טכנולוגי לקרלסרוהה), פרופ' דוד קילאק (אוניברסיטת אוקספורד) ופרופ 'פיוטר נובק (המכון המתמטי של האקדמיה הפולנית למדעים) פורסמו באחד מכתבי העת המתמטיים המפורסמים ביותר תולדות המתמטיקה שפורסם.

מקור תמונה: Pixabay

פתרנו בעיה פתוחה וארוכה במיוחד על ידי הצגת משפחה אינסופית מסוימת של אובייקטים אלגבריים - קבוצות - יש את המאפיין T ולכן הוא מאוד לא תואם את ה- גיאומטריה אוקלידית is ", מסכם נובאק.

וד"ר. מארק קלובה מוסיף: הודות למחקר שלנו הבנו היבטים גיאומטריים מסוימים של קבוצות שכולן מקודדות סימטריות.
האובייקטים עם נכס תשבדקנו בעלי תכונות גיאומטריות אקזוטיות מאוד (אי אפשר לקרוא להן סימטריות ב גיאומטריה אוקלידית יתממש). האם זה נראה מנותק מהמציאות? על פני השטח, כן. אבל הידע על המאפיין המסובך הזה של T כבר מצא יישום. זה מאפשר, למשל, בניית מרחיבים - גרפים עם מספר רב של חיבורים, שניתן למצוא ב אלגוריתמי הזרמה לשמש. וכאלה אלגוריתמים הם בין היתר לתצוגה של מגמות בטוויטר אחראי.

השאלה אם לקבוצות שלמדנו יש מאפיין כזה T הופיעה בדפוס בשנות התשעים. כשהייתי סטודנט לתואר שלישי זו הייתה בעיה שאני נתקל בה בכל הרצאה וכנס אחר תורת הקבוצות שמע - מסכם פיוטר נובאק.
ודויד קילאק מוסיף: התוצאה שלנו מסבירה כיצד אלגוריתם מסוים עובד. זהו האלגוריתם להחלפת מוצרים שמשמש כאשר רוצים לשלוף פריטים מסט גדול, למשל. ב 'מערך עם יותר אלמנטים ממספר החלקיקים ביקום. זֶה אַלגוֹרִיתְם זה קיים מאז שנות התשעים וזה עובד הרבה יותר טוב מהצפוי. המאמר שלנו מסביר מדוע זה עובד כל כך טוב - אומר פרופ 'קילאק.

והוא מוסיף: מדעי המחשב הם מדע חדש פיזיקה. מה שמקיף אותנו הם לא רק חלקיקים, אלא יותר ויותר גם אלגוריתמים. התפקיד שלנו כמתמטיקאים יהיה להבין אלגוריתמים, להראות למה הם עובדים או לא; מדוע הם מהירים או איטיים. מדענים הסתמכו על חישובי מחשב לצורך הוכחה מתמטית שלהם. השימוש במחשבים להוכחת משפטים במתמטיקה לא נחשב בעבר לאלגנטי במיוחד. הקהילה של מתמטיקאי תיאורטי בעיקר קמט את אפו במחשבים. אולם כאן גישה מודרנית זו עבדה טוב מאוד.

המחשב פשוט עשה את המטלה. אבל זה לא החליף את ההיגיון. הרעיון שלנו היה ליישם את הפחתת הבעיה האינסופית על בעיה סופית - אומר פרופ 'קילאק. מארק קלובה מוסיף: יש לנו את הבעיה שלנו בעיית אופטימיזציה מופחת ואז בשביל זה אופטימיזציה כלים סטנדרטיים המשמשים - אלגוריתמים שמשמשים מהנדסים לתכנון רכיבים.

המחשב קיבל את המשימה למצוא מטריצה ​​שעומדת בקריטריונים מסוימים. המכונה יצרה פיתרון, בדקה עד כמה היא עומדת בתנאים הנתונים ושיפרה בהדרגה מטריצה ​​זו כדי להשיג את שיעור השגיאות הנמוך ביותר האפשרי. השאלה היחידה הייתה עד כמה מרווח השגיאות הוא יכול להשיג; התברר כי שגיאת המחשב בקירוב הסופי הייתה קטנה מאוד מאוד. אז חישוב המחשב איפשר - עם הנכונים טיעונים מתמטיים - השג ראיות קפדניות.

זה שיצר המחשב למטריקס היו 4,5 אלף עמודות ו -4,5 אלף שורות. מארק קלובה מסביר כי הבעיה שעליה עבדו הייתה בהתחלה גדולה מכדי לפתור בעצמם באמצעות מחשב-על. אז השתמשנו בסימטריות הפנימיות של בעיה זו כדי להקל על מציאת פיתרון - הוא אומר. והוא מסביר כי ניתן להשתמש בגישה אנלוגית גם כדי לפתור בעיות אחרות בתחום אופטימיזציה של אובייקטים על ידי גאומטריה סימטריות מסומנים הם. סימטריות אלה (בצורה אלגברית) ניתנות לצפייה גם בבעיית האופטימיזציה וניתן להשתמש בהן הפחתת מורכבות ניתן להשתמש בו - אומר ד"ר קלובה. והוא מוסיף: למרות שאנו עוסקים במתמטיקה מופשטת, אנו רוצים שהתוכנה שלנו תהיה שימושית גם ביישומים טכניים.