אפקט דז'ניבקוב

היום משהו מתחום הפיזיקה לסקרן: ה אפקט Dzhanibekov, המכונה גם משפט מחבטי הטניס, מסביר חוסר יציבות של גופים מסתובבים עם שלושה רגעי אינרציה שונים. רגע האינרציה מעיד על עמידותו של גוף בפני שינויים בתנועת הסיבוב שלו. זה תלוי בציר הסיבוב המסוים ובגיאומטריה. הבנת הדינמיקה של מערכות המילטוניות קלאסיות היא עדיין מטרה מכרעת עם מספר רב של יישומים החורגים מהתיאור המתמטי שלהם. במקרה של מערכות אינטגרליות עם מעט דרגות חופש, גישה יעילה מבוססת על ניתוח גיאומטרי כדי לאפיין את התכונות הדינמיות של המערכת המכנית. תופעות גיאומטריות כאלה הן בדרך כלל מקורן לחוסן של השפעות מסוימות שניתן לצפות בהן בניסוי. אחד מהם הוא מה שנקרא. אפקט Dzhanibekov או נקרא גם אפקט מחבט הטניס.

אפקט ג'ניבקוב בחוסר המשקל של ה- ISS

נגזרת תיאורטית מצוינת ומפורטת של התופעה ניתן למצוא כאן (https://arxiv.org/pdf/1606.08237.pdf). עסקינן כאן במישהו מחוספס יותר, אך בכל זאת מסביר את התופעה. למרבה הצער, כאן יש צורך בידע מוקדם על הדינמיקה של גופים נוקשים:

שקול מטריצת אינרציה (באלכסון) עם רגעי האינרציה I1 ו- I2 ו- I3 כך ש- I1 הוא הקטן ביותר ו- I3 הוא הגדול ביותר. שקול כעת את התנועה סביב ציר הרגע העיקרי של האינרציה I3. וקטור המהירות הזוויתי הוא:

כאשר האפסילונים הם הפרעות קטנות בשני הצירים הראשיים האחרים. אם אתה מכניס את זה עכשיו למשוואות אוילר, תקבל:

כעת אנו מבדילים את משוואת אוילר השנייה:

החלפת אומגה 1 ואומגה 3 בביטוי שלנו, ומכיוון שהכפלת האפסילונים הופכת אותם קטנים מספיק כדי להתעלם מהם,

זה נותן לנו משוואה דיפרנציאלית לאומגה 2 בצורה:

הפיתרון הבסיסי הוא:

מכאן אנו יודעים שההפרעה הסיבובית בציר האומגה 1 יציבה ועושה תנועות תקופתיות, או במינוח של תנועת גוף נוקשה, שהיא עושה דיכאון. הפרעת האומגה 3 נובעת מטיעון דומה לאמור לעיל, ואשאיר את זה כתרגיל עבורך לעבוד עליו. לציר הביניים יש לנו:

הוכנס למשוואות אוילר:

ההבדל בין משוואת אוילר השלישית נותן:

בואו נחליף את הביטויים הנגזרים שלנו:

כעת סידרו מחדש והפיקו את משוואת ההפרש הבאה:

שימו לב כי המקדם חיובי כעת, מה שמוביל לפתרונות אקספוננציאליים:

פיתרון זה מראה כי אומגה 3 אינה יציבה לאורך ציר הביניים עם הפרעה של אומגה 2!

מה זה אומר?

כעת אנו יכולים לשלב את כל מה שהפקנו ולמדנו כדי להבין את המשפט. במילים פשוטות: אם הסיבוב לאורך ציר הביניים מופרע, נוצרת משוואה דיפרנציאלית עם פתרונות אקספוננציאליים. זה מוביל לתנועה לא יציבה, בניגוד לתנועה המדויקת שנצפתה בשני הצירים האחרים. תוצאה זו די מפתיעה. אין תמיכה אינטואיטיבית למשפט כזה מכיוון שאיננו יכולים לדמיין מדוע רגע האינרציה האמצעי יביא לסיבוב לא יציב. נראה שזה אופי מתמטי בלבד.